Bueno, a nosotros también nos gustaría que nos proporcionaras alguna pista más sobre que te sucede cuando intentas la conexión.
En primer lugar te dire que observo que asignas una cadena de conexión pero no la abres, cámbia la propiedad ConnectionString por OPEN ya que asignar una cadena de conexión no es suficiente para establecer ésta.
Otra cosa que deberás comprobar es si el usuario root tiene permisos y atributos para acceder a datos desde cualquier equipo cliente. Si no es así tendrás que generar un esquema de permisos para @root.
Si root no tiene password, no pongas PASSWORD=; y por cierto, revisa la cadena que está mal coonstruida conceptualmente.
Código:
cnx.Open = "DRIVER={MySQL ODBC 3.51 Driver};SERVER=localhost;DATABASE=prueba_vb;USER=root"
Espero que te resulte útil.
PD: Doy por entendido que dispones del driver al que haces referencia correctamente instalado en cada equipo y que las librerías ADODB están identificadas en el proyecto.